第一章

【答案】

1.仿真练习

 1.     2.      3.

 4.       5.

 6.B  7.A  8.C  9.B  10.D  11.C  12.B  13.A  14.A  15.A  16.D

 17.定义域x≥3,间断点为x=1且为第二类无穷断点。

 18. 

     则.

 19.原式=

 20.原式

 21. 原式=       22. 

 23. 

 24. 

     由得，

25. ，，，，

   Y由连续性可知,

   

26.(1)间断点为x=0，,

x=0为第一类跳跃型间断。

（2）

间断点为

均为第一类跳跃型间断点。

（3）间断点为.

不存在，为第二类间断点；

对于时，,为可去间断；

当时，,第二类间断点；

,,

x=0为第一类跳跃型间断。

27.令     则在上连续，且

   ，由闭区间上连续函数的介值定理知，在上至少存在一点使.

28.令   则在上连续，且,

或成立，那么就相应的有或1

否则可假设  ，则有闭区间上的连续函数介值定理可知，

在（0，1）上存在一点，使。

综上所述，得到题设结论

29.证明：

   则在上连续，且,

   故由连续函数介值定理得到存在使得即完成命题。

30.证明：

   任取一点，若,即为所求，否则不妨假设，即，

   现在考虑区间在此区间内由已知条件知连续，

   且,

   故由连续函数介值定理知在存在一点使得，命题得证。

2.历年真题

  1.C

  2. x=-1是第二类无穷间断点；  x=0是第一类跳跃间断点；  x=1是第一类可去间断点

  3.A    4.D

  5.原式

  6. x=1是的间断点，,,

x=1是的第一类跳跃点。

7.证明：令,,,因为在（0，1）内连续，故在（0，1）内至少存在一个实数，使得又因为在（0，1）内大于零，所以在（0，1）内单调递增，所以在（0，1）内有且仅有一个实根。

8.B      9. 

10.间断点为,当x=0时，为可去间断点；

 当时，为第二类间断点。

11.A

第二章

答案：

 1.   2.   3.   4.  

5.   6.   7. 水平渐进；垂直渐进；

8、B   9、A   10、C   11、D  12、C  13、C  14、C  15、A  16、C  17、B  18、B

19.原式

20.    21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

故

26. 

27. 

28. 

 

29．

30.

31. 

32. 

33.   

		拐点		极小值		拐点

34.解

   不存在，即不可导

可知，时，取极小值

35.解：平均成本

 （负号舍去）

，所以当时，的最小值

（万元/单位）

36.解：设销售量为百台，

利润函数

，由得。

计算

由此可得

所以每年生产3百万台时总利润最大。

37.解：利润函数

  

得

此时（元/台）。

38.解：

由得，当时不存在，端点

计算

比较上述函数值，故。

39.证明：

得到

所以   ，得证。

40.令

  ，有，

，

对于，成立，

故，继而严格单调递增，故

即即

令

由于所以，即，

即在时严格单调上升，故

即即

综合可得：对成立

41.令在区间上连续可导，由拉格朗日定理知

使得

，所以，即原式成立。

2.历年真题

1.B2.  23. 4.  1

5.解：（1）“过原点的切线平行于”

（2）“在处取得极值”（连续、可导）

所以

由于，得

6.（1）（2）由于具有二阶连续导数，，及

可知

7.C  8.B  9.B  10. 1  11.   12. 1

13.（1）  （2）

14.证明：，因为，所以是偶函数，

我们只需要考虑区间，考虑，

，

在时，＞0，即表明在单调递增，所以函数在内严格单调递增；

在时，＜0，即表明在单调递减，又因为，说明在单调递增。

综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足。

15.（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本

，（件）

 （2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润

，此时利润（元）。

16.B  17.C  18.C  19.   20  21. 

22、证明：令＜0，＞0，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得。

又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内有且仅有一个实根。

23、解：设圆柱形底面半径为，高为，侧面单位面积造价为，则有

由（1）得代入（2）得：，令，得，此时圆柱高

所以当圆柱底面半径，高时造价最低。

24. C  25. 

26. 代入原方程得，对原方程求导得，对上式在求导得：；将代入上式，解得：。

27.设污水厂建在河岸离甲城公里处，则

，，解得（公里），唯一驻点，即为所求。

28. C    29. 2     30. 

31.解：因为在处连续，所以

，故。

32.解：   

33.证明：令，且＞0，＜0，

由闭区间连续函数零点定理知，在上至少有一实根。

反证法：设有两零点＜＜＜，在可导，连续，且，故在满足罗尔定理，存在使得，这与＜矛盾，解的唯一性得证。

34.设所求函数为，则有。

由得，即

因为所以，由，解得。

故，由，解得。

所求函数为。

第三章

【答案】

1. 仿真练习

不定积分

1.     2.     3.    4.

5.原式=

6.原式

7.原式

       

8.原式

9.     10.     11.

12.

13.

14.证明：

   

   

15.

   

   

16.原式

定积分

1.    2.

3. A   4.D    5.D

6.设

   

7.

8.原式

9.原式

      

 10.当时，

     

11.原式

       

12.原式

13.令,则

原式

即

14.解：（1）

      切线方程为

      （2）故

    S

     

15.解：

（1）

（2）

16. 

右极值点为 

右极值点切线为x轴，

当时，

解得：                     

，得到于是

 

17. 又在上连续且

则  又因为在闭区间上连续，故

由闭区间上连续函数的介值定理知，在使得即在上有零

点，又即是严格单调递增函数，故在（0,1）内只有一个零点．

18.左右

19.证明：

因为在内单调增加，故

所以故证毕。

20.（1）

 (2)

21. 

，即处连续。

 22. 证明：令上可导，

又

即，故在区间满足罗氏定理条件

故存在，使得

即

2. 历年真题

不定积分部分

1.D    2.   3.A  

4.   5.C   6. 7.

8.

9. D

10.原式

       

定积分部分

1. D   2.    3.      4.

5.(1)由已知条件，可设切线方程：

  (2)将切线方程与抛物线方程联立，消去y，得：

            

(3)由于切点是唯一的交点，上述关于x的方程必须有重根，即：

         (负号舍去)

    得切线方程为：

  (4)解出切点坐标（3,1），沿y轴积分，则所求面积

  

(5).该平面图形分别绕x,y轴旋转一周的体积：

     

     

6. A    7.B      8.0

9.解：令

所以

10.

11. (1)

   (2)

12.0     13.原式=

14.(1)切线方程：y=4

   (2)

   (3)

15. B

16. 原式

        .

17.

18.证明：令，

       

                 ，

  故，证毕。

19.

20. 原式

      

21. （1）

（2）

      

第四章

【答案】

1.仿真练习

1.

2.

3.

4、C   5、C

6. 解：设方程为， 

即

，由于垂直于，

故

解得，即平面的方程为，

7. 

2.历年真题

1.A 2.B 3.D 4.   5. 5

6.

     平面点法式方程为

即

第五章

【答案】

1. 仿真练习

1.       2.         3.

4.

5.

6. B      7.B

8.            

9．原式==

   ===

10.，同理

+

11. 原式===

        ==

12．，

 

 13. 

2.历年真题

1.+ 

2.

3.原式=

4.

5.,

6原式=

7.       

8.

9.

10.  11.+

12.

      

13.原式=

       =

14.  A    15.

16.

       

17.解： 积分区域D为：

     （1）  F（u）=

      (2)   (2-1)f(2)=f(2)=1

第六章

【答案】

1.仿真练习

1. P >3;        2.      3. A   4.B   5.C   6.C  7.A  8.B   9.B

10.解：

       由于故发散，即不绝对收敛。为交错级数且单调减少且趋于零，由莱布尼兹法则知，原级数条件收敛。

11. 令，     ，

当y=2时，发散，所以原级数收敛区域为。

12. 当，故原级数发散，

当p=1时，条件收敛

当p>1时，，对于，

所以绝对收敛。

13.

分别将在区间（0，x）上积分得： 

所以  

14.当0<a<1时，，发散;当a=1时，，发散；

当a>1时，<，而收敛。

1. 历年真题

1.B

2.解：

       

        

收敛区间（-4<R<4）

3.(-1,3)  4.

5.C       6.（-1,1）。7.解：

，  收敛区间为-1<x<1。

第七章

【答案】

1.仿真练习

1.一阶       2.       3.

4.A          

5.

  

        

原方程解为

6.（1）    

  （2）

      

代入得  

7.（1）

令

（2）

积分得

积分

8.求导得：

9.特征根，方程为      通解      特解

2.历年真题

1．

2．

  

3. C    4.   5.   6.B    7.   8. D

   9. 等式两边求导得    

所以 

   

10.

  通解为

  因为

  故特解为